Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon dan metro. Trigonon adalah  tiga sudut dan metro adalah mengukur, jadi trigonometri  adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Pada kesempatan kali ini saya akan membagikan konsep "Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut". Oke, tanpa basa basi lagi silahkan disimak materi berikut ini.

1. COSINUS

Dari gambar tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA = r dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu  :

A (r, 0), 

B (r cos α, r sin α),  

C (r cos(α + β), r sin(α + β)), dan

D (r cos β, –r sin β).

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu :

(AC)2 = (xC – xA)2 + (yC – yA)2 

 (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2

            = r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β)

            = r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β)

            = r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)

Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos (α + β)

(DB)2 = (xB – xD)2 + (yB – yD)2

(DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2

          = r2 cos2α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2β + r2sin2α + 2 r2sin α sin β + r2sin2β

          = r2 (cos2α + sin2α) + r2 (cos2β + sin2β ) –2r2 cos α  cos β + 2r2 sin α sin β

          = r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

          = 2r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β

Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β

 

ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB.

Jadi, AC2 = DB2.

2r2 – 2r2 cos (α + β)  = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β–2r2 cos (α + β)               

                                   = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

cos (α + β)                 = cos α cos β – sin α sin β

cos (α + β)                 = cos α cos β – sin α sin β

 Sehingga kita dapatkan rumus    cos (α + β)  = cos α cos β – sin α sin β

Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu

cos(α – β)         = cos (α + (–β))

                         = cos α cos(–β) – sin α sin(–β)

                         = cos α cos β + sin α sin β

cos (α – β)        = cos α cos β + sin α sin β

Sehingga kita dapatkan rumus    cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

2. SINUS

Untuk mencari rumus sin (α + β) dan sin (α - β), kita dapat mencarinya dengan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen berikut.
 cos (90° – α) = sin α                    dan              sin (90°– α) = cos α 
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, maka diperoleh.

sin (α + β)     = cos [90° – (α + β)]

                     = cos [(90° – α) – β]

                     = cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β

                     = sin α · cos β + cos α · sin β

sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

 

Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β),yaitu

sin (α – β)   = sin (α + (–β))

                   = sin α cos (–β) + cos α sin (–β)

sin (α - β)    = sin α · cos β – cos α · sin β

 Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

3. TANGEN

Untuk mencari rumus tan(α + β) dan tan  (α - β), kita dapat mencarinya dengan cara mensubsitusikannya, dimana yang kita tahu.

 Maka diperoleh :

Cara cepat untuk mencari atau mengingat rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut  :

Untuk tangen tidak ada cara cepatnya, kalian harus mencarinya dengan metode subsitusi.
 

Mungkin hanya itu dulu yang dapat saya sampaikan pada kesempatan kali ini. Semoga bermanfaat bagi pembaca ^_^.